ریاضی

علمی

ده نفر به اتاقی وارد شده اند که نام کوچک آنها احمد، رضا و مهدی است و نام خانوادگی آنها محمدیان، رسولی و رضایی است. نشان دهید حداقل دو نفر از این ده نفر، نام و نام خانوادگی یکسانی دارند.
حل: تنها 9 امکان برای تولید اسامی متمایز وجود دارد. اگر افراد را به عنوان کبوتر اسامی را به منزله لانه کبوتر فرض کنیم، آنگاه بنا بر اصل لانه کبوتر، بعضی از اسامی (لانه ها) به حداقل دو نقر (کبوتر ها( نسبت داده می شوند.

اصل اول

اصل نخست شمارش را می توان به صورت زیر بیان کرد:

قاعده حاصل جمع:اگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد، و اگر این دو کار را نتوان همزمان انجام داد،آنگاه این یا آنگاه را میتوان به m+n طریق انجام داد.

توجه داشته باشید که وقتی می گوییم رویدادی خاص، مثلاً کاری از نوع نخست، می تواند به m طریق دهد، فرض بر این است که این m طریق متمایرند، مگر آنکه خلاف آن بیان شود.

مثال 1 کتابخانه دانشکده ای کتاب درسی درباره جامعه شناسی و 50 کتاب درسی در باره انسان شناسی دارد. بنابر قاعده حاصل جمع، دانشجویی که در این دانشکده تحصیل می کند، به منظور فراگیری بیشتر درباره این یا آن موضوع، می تواند بین 90 = 50 + 40 کتاب درسی انتخاب به عمل آورد.
مثال 2 قاعده بالا را می توان به بیشتر از دو کار تعمیم داد مشروط برآنکه هیچ جفتی از کارها را نتوان همزمان انجام داد. به عنوان مثال، یک مدرس علم  که در هر یک از زمینه ها اپل، بیسیک، فرترن، و پاسکال مثلاً پنج کتاب مقدماتی وارد، می تواند هر یک از این 20 کتاب را به دانشجوی علاقه مند به فراگیری نخستین و برنامه نویسی توصیه کند.

اصل دوم

مثال زیر مدخلی برای معرفی اصل دوم شمارش است.
مدیر کارخانه ای به منظور اتخاذ تصمیمی درباره توسعه کارخانه، 12 نفر از کارمندان خود را در دو گروه گرد آورد. گروه A مرکب از پنج عضو است و بناست درباره نتایج مساعد احتمالی چنین توسعه تحقیقاتی به عمل آورد. گروه دیگر، یعنی گروه Bکه مرکب از هفت کارمند است درباره نتایج نامساعد احتمالی بررسیهایی به عمل خواهد آورد. اگر، قبل از اتخاذ تصمیم، مدیر نامبرده بخواهد فقط با یکی از این اعضا درباره تصمیم صحبت کند، آنگاه بنابر قانون حاصل جمع، می تواند 12 کارمند را احضار کند. ولی، به منظور قضاوت بی طرفانه مدیر نامبرده تقسیم می گیرد که روز دوشنبه با عضوی از گروه Aو سپس روز سه شنبه با عضوی از گروه B صحبت کند تا به اتخاذ تصمیمی نائل گردد. با به کارگیری اصل زیر، ملاحظه می کنیم که او می تواند به 35 = 7 * 5 طریق دو کارمند متعلق به گروههای دو گانه را برگزیند و با آنها صحبت کند.

قاعده حاصل ضرب: اگر عملی به دو مرحله اول و دوم تقسیم شود و اگر در مرحله اول m نتیجه ممکن و برای هر یک از این نتایج، nنتیجه ممکن در مرحله دوم وجود داشته باشد، آنگاه کل عمل نامبرده می تواند با ترتیب یاد شده، به mn طریق انجام شود.

گاهی این قاعده را اصل انتخاب نیز می نامند.

۱)به چند طريق ميتوان سه حرف a,b,cرا كنار هم چيد.(تكرار حروف غير مجاز) 

۲)فرض كنيد من ميخواهم تعدادي پلاك درست كنم.به طوري كه روي هر پلاك  سه عدد يك رقمي مينويسم حال اگه گفتي چند پلاك ميتوانم بسازم؟(پلاكها تكراري نيستند.)

۳)با ارقام ۱،۲،۳،۴،۵ چند عدد چهاررقمي ميتوان نوشت؟(تكرار غير مجاز ميباشد)

۴) چند كلمهء دو حرفی با حروف كلمه (عشق) ميتوان نوشت؟

 (تكرار حروف غير مجاز ميباشد)

5)چند عدد پنج رقمي با عدداي 0و1و2و5و7 ميتونيد بسازيد.

(تكرار ارقام مشكل داره ها)   جواب:96

6)با ارقام۵،۰،۲،۱ چند عدد دو رقمي می توان نوشت ؟ ( تكرار غير مجاز ميباشد)

۷)با ارقام ۱،۲،۳،۴،۵ چند عدد سه رقمي فرد ميتوان نوشت؟

۸)شما ۵كتاب مختلف داريد.به چند طريق ميتوانيد آنهارا كنار هم بچينيد

۹)با ارقام ۰،۲،۷،۱ چندكد چهاررقمی تلفن شهرستان ميتوان ساخت؟

۱۰)يك جدول ۳*۵ داريم. كه مي خواهيم اعداد ۱ و۲ را درخانه هاي اين جدول قرار دهيم.به چند صورت ميتوانيم اين كار را انجام دهيم؟

۱۱)چند عدد دو رقمي فرد با ارقام متمايز وجود دارد؟(كتاب رياضي دوم دبيرستان)

۱۲)اگر nيك عدد طبيعی بزرگتر ازيك باشد به چند طريق ميتوان با دو

دو رقم ۰و۱ كدهای nرقمی نوشت؟اين سوال تشريحي است.

۱3)اصل ضرب را اثبات كنيد؟اين سوال تشريحي است.

۱۴)خانه اي داراي پنج در است.شما به چند طريق ميتوانيد از يك در وارد و از در ديگه اي خارج شويد؟(البته اگه تو خونه گم نشديد)

۱۵)بين اعداد 10000 تا 100000 چند عدد صحيح وجود داره در صورتي كه فقط ارقام 1و2و5 رو داشته باشه؟

چند تا سؤال سختر از اصل ضرب:

1)سه جعبه به رنگ های آبی،سرخ و سفيد داريم. اگر بخواهيم هر گوی را در جعبهء همرنگ غير آن بگذاريم،اين کار را به چند صورت ميتوانيم  انجام دهيم؟

2)يک قفل رمزی دارای يک رمز 3 رقمی فرد با ارقام9و8و...و3و2و1 ميباشد.اگر رمز اين قفل را ندانيم و امتحان کردن هر رمز 2 دقيقه طول بکشد،حداکثر چند ساعت طول ميکشد تا قفل باز شود؟(کنکور سراسری 65)

3)با حروف کلمه «جمهوری» به چند طريق می توان کلمات 3 حرفی بدون تکرار حروف ساخت.به شرطی که حرف اول آن حرف نقطه دار نباشد؟( کنکور سراسری 67)

4)تعداد اعداد دو رقمی که مضرب 2 يا 5 باشند برابر است با:( کنکور سراسری 67)

جواب ها:

جواب1 :2

جواب2 : 13.5

جواب3 :80

جواب:54

حالا چند تا سوال توپ:

1)تعداد مقسوم عليه های طبيعی عدد 360 را بيابيد.

2)برای سؤال قبل يه فرمول بسازيد.

3)تعداد زوج مرتبهای (x,y) از اعداد صحيح را بيابيد به طوريکه 8 > x²+y²  .(دقت کنيد که(1و2) با (2و1) فرق داره.)

4)برای عدد طبيعی n چند زوج مرتب از اعداد طبيعی وجود دارد که در معادله زير صدق می کند.(مسابقات رياضی پانتام)

X+y=n÷xy

5)يک مکعب به ضلع 3 را درنظر بگيريد که در مرکز هر يک از مکعب های کوچک آن يک نقطه گذاشته شده است(مجموعاً 27 نقطه)چندتا مجموعه سه تايی از اين نقاط روی يک خط راست قرار دارند؟(مرحله اول پنجمين المپياد کامپيوتر)

الف)48     ب)36      ج)  49      د)43       ه)37

6)به چند طريق ميتوان سه عدد متفاوت از اعداد صحيح 1 تا 9 انتخاب کرد.که مجموع آنها بر سه بخشپذير باشد؟(مرحله اول نهمين المپياد کامپيوتر)

الف)27     ب)28      ج)30        د)45       ه)84

7)به چند طريق ميتوان از ميان اعداد 1 تا 30 ،سه عدد متمايز انتخاب کرد،به طوری که تشکيل تصاعد هندسی دهند؟( مرحله اول يازدهم المپياد کامپيوتر)

الف)6      ب)10     ج)11          د)12      ه)13

اگر تصاعد نمی دونيد چيه اون رو ميتونين توی کتاب رياضی دوم دبيرستان (فصل 5)بخونيد.يادتون نره،حتماً بخونيدو مشکلاتتون رو هم بگين.

جواب ها:

جواب1 :24

جواب3 :21

جواب5 :49

جواب6 :30

جواب7 :12

نوشته شده توسط علیرضا کوکب در 19:36 |  لینک ثابت   •